السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

نعتذر عن التأخير في إعلان نتيجة السؤالين الخامس و السادس ، سنقوم بذلك

قريبا إن شاء الله

السؤال السابع

أوجد س ، ص ، ع التي تحقق المعادلة :

( س + ص + ع )² = 5 س ص ع


حيث س ، ص ، ع أعداد صحيحة موجبة بحيث



المسألة العامة :

أوجد جميع الأعداد الطبيعية ن بحيث يكون للمعادلة :

( س + ص + ع )² = ن س ص ع

حلول في الأعداد الصحيحة الموجبة

ملحوظة : حل المسألة العامة ليس إجباريا

======================================
Find x , y , z satifying the following equation

x + y + z)² = 5xyz )

where x , y , z are positive integers such that



The general problem

Find all natural numbers n such that

x + y + z)² = nxyz )

has positive integer solutions

NB: Solving the general problem is not obligatory

من سيعطينا أجمل حل ؟

سنقوم بطرح أسئلة عبارة عن مسألة عامة يكون لها طريقة حل عامة

تطبق كل مرة و تحل بطرق كثيرة و مختلفة

الحل الصحيح لن يكون معيارا للفوز

للفوز يجب أن يكون اجمل حل : طريقة الحل أنيقة ، تحتوي على أقل عدد ممكن

من الخطوات و أقل ما يمكن من الحسابات و فيها شيء من الابتكار

الشروط

- المسابقة مفتوحة للجميع

-كل الحلول توضع في نفس هذا الموضوع

-مدة استقبال الحلول هي اسبوع لكل مسألة

-المسائل التي ستطرح عددها 20

- يمكن لنفس المتسابق أن يضع حلول مختلفة للسؤال المطروح و لكن تحتسب النقاط لواحد منها فقط

-يتم تحديد أجمل حل من قبل لجنة الحكم

-النقاط :

أجمل حل المرتبة الاولى : 5 نقاط
أجمل حل المرتبة الثانية : 4 نقاط
أجمل حل المرتبة الثالثة : 3 نقاط
أجمل حل المرتبة الرابعة : نقطتان
كل من شارك بحل غير مكرر : نقطة واحدة

-تنتهي مهلة وضع الحلول كل يوم جمعة الساعة السادسة مساءً بتوقيت غرينيتش حيث سيتم إغلاق الموضوع بعد ذلك

 

 

ممكن هنالك خطأ في السؤال ؟؟؟

لأن عدد الحلول للمسألة الأولى هائل ؟؟!!!

 

 

بالنسبة لي نتج فقط 6 حلول

وهي مكررة

ولكن طريقتي صعبة جدا ً وبانتظار إبداعات باقي الأعضاء

 

 

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة أيمن ديان [ مشاهدة المشاركة ]

بالنسبة لي نتج فقط 6 حلول وهي مكررة ولكن طريقتي صعبة جدا ً وبانتظار إبداعات باقي الأعضاء

إذا فرضنا أن نجد أن الحلول هي :

(1,4,5)
(1,5,4)
(1,5,9)
(1,9,5)
(1,9,20)
(1,20,9)
(1,20,49)
(1,49,20)
(1,49,125)
(1,125,49)
(1,125,324)
(1,324,125)
(1,324,845)
(1,845,324)
(4,1,5)
(4,5,1)
(4,5,81)
(4,81,5)
(5,1,4)
(5,1,9)
(5,4,1)
(5,4,81)
(5,9,1)
(5,9,196)
(5,81,4)
(5,196,9)
(9,1,5)
(9,1,20)
(9,5,1)
(9,5,196)
(9,20,1)
(9,20,841)
(9,196,5)
(9,841,20)
(20,1,9)
(20,1,49)
(20,9,1)
(20,9,841)
(20,49,1)
(20,841,9)
(49,1,20)
(49,1,125)
(49,20,1)
(49,125,1)
(81,4,5)
(81,5,4)
(125,1,49)
(125,1,324)
(125,49,1)
(125,324,1)
(196,5,9)
(196,9,5)
(324,1,125)
(324,1,845)
(324,125,1)
(324,845,1)
(841,9,20)
(841,20,9)
(845,1,324)
(845,324,1)

وعددها 60 بالضبط !!

 

 

ماشاء الله لا قوة إلا بالله

أحييك أخ ماث صن

لا أدري لما نتج معي الحلول الستة فقط

سأعيد الحسابات لأرى أين الخطأ

 

 

تم تعديل السؤال ، شكرا لكما

 

 

لدينا

5س ص ع = (س + ص + ع)^2

لاحظ أن 5 يقسم الطرف الأيمن، إذا 5 يقسم الطرف الأيسر.

وبما أن 5 عدد أولي ، إذا 5 يقسم (س+ص+ع) (بدون تربيع).

إذا 25 يقسم (س+ص+ع)^2.

أي أن الطرف الأيمن يقبل القسمة على 25.

بالتالي أحد الأعداد س أو ص أو ع يقبل القسمة على 5.

الحالة 1 : لنفرض أن ع = 5 (لا يوجد عدد آخر في الفترة المعطاه).

وحيث أن 5 يقسم س + ص + ع نجد أن 5 يقسم س+ص أيضا... (لأن ع = 5)

بالتالي تصبح المعادلة:

25س ص = (س + ص + 5)^2

أو 25 س ص = (س+ص)^2 + 10 (س + ص) + 25

لاحظ أن (س + ص) <= 4 + 4 <= 8 ، (س + ص) يقبل القسمة على 5.

إذا (س+ص) = 5..

نعوض و نجد 25 س ص = 25 + 50 + 25 = 100 ،، س ص = 20 ،، س = 1 ، ص = 4

والحل الناتج هو (1 ، 4 ، 5)...

الحالة 2: ص = 5.

بنفس الطريقة نجد أن الحل الوحيد هو (1 ، 5 ، 9)

الحالة 3: س = 5

ومنه نجد أنه لا يوجد حل.

مجموعة الحل النهائية هي{ (1 ، 4 ، 5) ، (1 ، 5 ، 9)}

 

 

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
محاولة

 

 

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

 

 

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

مرحباً بالأخوة الكرام

يوجد خطأن مطبعيان بالمرفق السابق


خطأ ببداية السطر السادس من الحل العام بوضع n بدلاً من العدد 5

خطأ بالسطر قبل الأخير ( z أكبر من أو تساوى y أكبر من أو تساوى x)


أما شرح مفهوم أن المعادلة المعطاة متماثلة لجميع المتغيرات مع إهمال شرط ترتيبهم تنازليا مثلاً
فهذا يعتى أنه إذا كانت أحد الحلول ( 9 , 5 , 1) مثلاً فهذا يعنى أن
(9, 1 , 5) & ( 5 , 9 , 1) & ( 5 ,1 , 9 ) & ( 1 , 5 , 9) &( 1 , 9 ,5) أيضا حلول للمعادلة المعطاة
ولكن إذا أعتير ترتيب الأعداد تنازلياً مثلا فتهمل الحلول االخمسة الأخيرة