متفاوتة بسيييييييطة..

23-05-2009, 12:05 AM

متفاوتة بسيطة جدا و لكن حلوة..
إذا كان x1,x2,.....xn أعداد حقيقية أكبر من الصفر، فأثبت أن:

أنتظر حلولكم المبدعة،، شدوا الهمة

23-05-2009, 12:22 AM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة فارس السنة [ مشاهدة المشاركة ]

متفاوتة بسيطة جدا و لكن حلوة..
إذا كان x1,x2,.....xn أعداد حقيقية أكبر من الصفر، فأثبت أن:

أنتظر حلولكم المبدعة،، شدوا الهمة

بداية قوية فارس السنة، لكنني أرى أنها غير صحيحة ؟؟ جرب $n=2, x_1 = 3 , x_2 = 4$ .

23-05-2009, 12:32 AM

رائع جدا أخي ،، الحقيقة أنني قد سهوت عن الشرط الثاني : n>2
حاول معها الآن..

23-05-2009, 12:38 AM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة فارس السنة [ مشاهدة المشاركة ]

رائع جدا أخي ،، الحقيقة أنني قد سهوت عن الشرط الثاني : n>2
حاول معها الآن..

مرة أخرى جرب $n=3, x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3$

.

23-05-2009, 12:50 AM

علمت ما الخطأ ، إنه إشارات الجمع في الطرف الأيسر فالسؤال هو حاصل ضرب الأعداد في اليسار،
سأصححه الآن.. أعتذر لذلك فهذا دليل على الخبرة المعدومة * . *

23-05-2009, 12:52 AM

23-05-2009, 04:45 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة فارس السنة [ مشاهدة المشاركة ]

متفاوتة بسيطة جدا و لكن حلوة..
إذا كان x1,x2,.....xn أعداد حقيقية أكبر من الصفر، فأثبت أن:

أنتظر حلولكم المبدعة،، شدوا الهمة

إليك الحل:
لنفرض أن $f(a) = a\ln a$ ، واضح أنها دالة محدبة، بالتالي من نظرية جينسن نجد:

$f(x_1) + \cdots + f(x_n) \ge n f\left(\frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} \right)$

أو بصيغة أخرى:

$x_1 \ln x_1 + \cdots + x_n \ln x_n \ge n\left( \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} \right ) \ln \left( \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} \right ) = \left(x_1 + \cdots + x_n \right ) \ln \left(\frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} \right )$

من خواص اللوغارتمات:

$\ln \left(x_1^{x_1} \cdots x_n^{x_n} \right ) \ge \ln \left[\left(\frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} \right )^{\left(x_1 + \cdots + x_n \right )} \right]$

ومنه ينتج مباشرة:

$\left(x_1^{x_1} \cdots x_n^{x_n} \right )^{\frac{1}{x_1 + \cdots + x_n}} \ge \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}$

وهو المطلوب.

أعتقد أنه يمكن حصر الطرف الايسر أيضا:

$\frac{x_1^2 + \cdots + x_n^2}{x_1 + \cdots + x_n} \ge \left(x_1^{x_1} \cdots x_n^{x_n} \right )^{\frac{1}{x_1 + \cdots + x_n}} \ge \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}$


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة