متباينة جميلة

29-03-2009, 08:51 PM

إذا كانت $a,b,c$ أعداد حقيقية موجبة مجموعها 3 أثبت أن:

$\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c \ge ab + bc + ac$

31-03-2009, 01:20 PM

لدينا حسب متفاوتة الوسط الحسابي و الهندسي :

$a^2+\sqrt{a}+\sqrt{a} \geq 3a$

$b^2+\sqrt{b}+\sqrt{b} \geq 3a$

$c^2+\sqrt{c}+\sqrt{c} \geq 3a$

نجمع المتفاوتات طرف بطرف فنحصل على :

$a^2+b^2+c^2 +2(\sqrt{a }+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \geq 3(a+b+c)$

و منه

$a^2+b^2+c^2+ 2(\sqrt{a }+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \geq (a+b+c)^2$

تكافئ

$\sqrt{a }+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geq \frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}$

تكافئ

$\sqrt{a }+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geq \frac{2(ab+bc+ca)}{2}$

و بالتالي

$\sqrt{a }+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geq ab+bc+ca$


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة