مسائل في نظرية العدد - الصفحة 4

02-03-2009, 02:06 PM

بالنسبة للسؤال التاسع، أظن أن الإجابة مباشرة بعد توحيد المقامات ، حيث (مثلاً لو أخذنا p1 ) سيكون جميع الحدود ما عدا الأول يقبل القسمة على p1 ولكن حتى يكون الكسر عددًا صحيحًا يجب أن يكون كل المقام يقبل القسمة على p1 (وكذلك p2 و p3 و ... ) ولكن المقدار الأول هو عبارة عن مضروب جميع الأعداد الأولية المعطاة ما عدا p1 وبالتالي فهو لا يقبل القسمة على p1 ، وبالتالي فالمقام لا يقسم البسط أبدًا ! وبالتالي من المستحيل أن يكون عددًا صحيحًا .

02-03-2009, 02:23 PM

هذي محاولتي للثامنة :

واضح أنه لو كان $p(m)$ غير أوليًا فإثبات المسألة بديهي ومباشر

الآن لنفرض أن هناك حدودية $p(x)$ بمعاملات صحيحة ، بحيث تحقق $p(m)$ عدد أولي

إذن :

$p(m) = a_k \cdot m^k + a_{k-1} \cdot m^{k-1} + ... + a_1 \cdot m + a_0$

الآن خذ $p(c \cdot a_0)$ حيث $c$ عدد صحيح

واضح أن :

$a_0 | p( c \cdot a_0 )$

إذن لنأخذ $c$ كبيرًا كفاية لكي يكون $c \cdot a_0 \ge m$ ، وضع $n= c \cdot a_0$ وبالتالي نحن أثبتنا أنه يوجد عدد لانهائي من الأعداد الصحيحة $n \ge m$ التي تحقق أن $p(n)$ غير أولي

ملاحظة : لو كان $a_0 = 0$ فطريقتنا أعلاه خاطئة وعديمة المعنى ، ولكن عندها سيكون $m | p(m)$ وبالتالي $p(m)$ ليس أوليًا إلا في حالة $m=1$ وعندها فقط نأخذ $n = c \cdot a_1$ ، ونفس المشكلة ستحصل لو كان $a_1=0$ ، وعندها نأخذ $n = c \cdot a_2$ وهكذا سوف نحصل على عدد ما $a_i$ يحقق $n = c \cdot a_i$ لأنه لا يمكن أن تكون جميع الـ $a_i 's$ تساوي صفرًا !

~ والله أعلم ~

02-03-2009, 03:11 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة waelalghamdi [ مشاهدة المشاركة ]

هذي محاولتي للثامنة :

واضح أنه لو كان $p(m)$ غير أوليًا فإثبات المسألة بديهي ومباشر

الآن لنفرض أن هناك حدودية $p(x)$ بمعاملات صحيحة ، بحيث تحقق $p(m)$ عدد أولي

إذن :

$p(m) = a_k \cdot m^k + a_{k-1} \cdot m^{k-1} + ... + a_1 \cdot m + a_0$

الآن خذ $p(c \cdot a_0)$ حيث $c$ عدد صحيح

واضح أن :

$a_0 | p( c \cdot a_0 )$

إذن لنأخذ $c$ كبيرًا كفاية لكي يكون $c \cdot a_0 \ge m$ ، وضع $n= c \cdot a_0$ وبالتالي نحن أثبتنا أنه يوجد عدد لانهائي من الأعداد الصحيحة $n \ge m$ التي تحقق أن $p(n)$ غير أولي

ملاحظة : لو كان $a_0 = 0$ فطريقتنا أعلاه خاطئة وعديمة المعنى ، ولكن عندها سيكون $m | p(m)$ وبالتالي $p(m)$ ليس أوليًا إلا في حالة $m=1$ وعندها فقط نأخذ $n = c \cdot a_1$ ، ونفس المشكلة ستحصل لو كان $a_1=0$ ، وعندها نأخذ $n = c \cdot a_2$ وهكذا سوف نحصل على عدد ما $a_i$ يحقق $n = c \cdot a_i$ لأنه لا يمكن أن تكون جميع الـ $a_i 's$ تساوي صفرًا !

~ والله أعلم ~

بارك الله فيك،، حلك الأول جميل (جدا!!) ،

أما السؤال الثاني، فأعتقد أن به الخلل (وأظن أنك تحس بهذا

) عند اختيار c !!! لكن مع ذلك أراه صحيحا !!! ورائع. وهذا هو الحل النموذجي.

02-03-2009, 03:14 PM

المسألة 12:

ليكن p عدد أولي ، k عدد صحيح بحيث $1\le k < p$ ، أثبت أن:

$p|pCk$

الرمز C يعني توافيق.

02-03-2009, 03:21 PM

$pCk = \frac{p \cdot (p-1) \cdot \cdot \cdot (p-k+1) } {k!}$

وبما أن p عدد أولي ، وكذلك $p-1 \ge k$ وأيضًا pCk عدد صحيح ، إذن لا يوجد أي من الحدود في المقام يقسم p

وبالتالي p | pCk

02-03-2009, 03:25 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة mathson [ مشاهدة المشاركة ]

بارك الله فيك،، حلك الأول جميل (جدا!!) ،

أما السؤال الثاني، فأعتقد أن به الخلل (وأظن أنك تحس بهذا

) عند اختيار c !!! لكن مع ذلك أراه صحيحا !!! ورائع. وهذا هو الحل النموذجي.

مشكور على تعليقك ، والحل النموذجي يبدو رائعًا و elegant وليس مثل حلي المثير للشكوك

08-03-2009, 10:33 AM

المسألة 13

هذه ليست سهلة:

ليكن a,b أعداد صحيحة بحيث $ab(a+b)$ يقبل القسمة على $a^2+ab+b^2$ ، أثبت ان $|a-b|\g \sqrt[3]{ab}$

13-03-2009, 01:55 PM

لا زلنا ننتظر ...
(للعلم أن المسألة من ألمبياد روسيا).

16-03-2009, 07:39 PM

حل المسألة:

المسألة الجديدة (13):

برهن أن (الدالة المستخدمة في الأس تعطي عدد القواسم الموجبة)

31-03-2009, 03:49 PM

المسألة 14:

أوجد الأعداد الصحيحة الموجبة $a,b$ التي تحقق:

$\sqrt a + \sqrt b = \sqrt 2009$


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة