متفاوتة من اختراعي .

25-05-2008, 11:38 PM

ليكن $a$ و $b$ و $c$ اعداد حقيقية موجبة قطعا بحيث ${abc=1}$

اتبت ان
${\frac {a}{\sqrt {b + c}} \:+\: \frac {b}{\sqrt {c + a}} \:+ \:\frac {c}{\sqrt {a + b}} \:\geq\: \frac {3}{\sqrt2}}$

بكتابة اخرى اتبت ان
${\sum_{cyc} \frac{a}{sqrt{b+c}} \:\geq\: \frac {3}{\sqrt2}}$

26-05-2008, 12:32 AM

بارك الله فيك أستاذي ياسين
إن ابتكار المتفاوتات عادة أصعب من حلها بكثير
لتكن هذه إن شاء الله أول مسألة أحلها باستخدام الطرق العادية ...
سأفكر بها

27-05-2008, 10:01 PM

هل هذه تنفع ؟ لا زلت مبتدأ
http://rogercortesi.com/eqn/tempimagedir/eqn9012.png

27-05-2008, 10:14 PM

أو ممكن متفاوتة هولدر؟

28-05-2008, 05:08 AM

احسنت اخي mathson
ادا تابعت خطوات المحاولة الاولى ستنجح اكمل لم يبقى الا القليل
بالنسبة لمتفاوتة holder ارجو ان تضع الخطوات

لمادا لا تكتب ب latex فهي كما ترى تضهر في المنتدى

28-05-2008, 12:33 PM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
لم أكمل الحل لأني وقعت في مأزق:
$\begin{array}{l} a,b,c \in ,abc = 1 \\{\rm{prove that: }}\sum\limits_{cyc} {\frac{a}{{\sqrt {b + c} }} \ge \frac{3}{{\sqrt 2 }}}\\{\rm{proof : let }}f(x) = \frac{1}{{\sqrt x }} \Rightarrow\\\sum\limits_{cyc} {\frac{a}{{\sqrt {b + c} }} = \sum\limits_{cyc} {af(b + c) \ge (a + b + c)f\left( {\frac{{a(b + c) + b(c + a) + c(a + b)}}{{a + b + c}}} \right)} }\\(a + b + c)f\left( {\frac{{a(b + c) + b(c + a) + c(a + b)}}{{a + b + c}}} \right) = \frac{{\sqrt {(a + b + c)^3 } }}{{\sqrt {2(ab + bc + ac)} }} \\\end{array}$
وحتى يتحقق المطلوب يجب أن يكون :
$\begin{array}{l}\sqrt {(a + b + c)^3 }\ge 3\sqrt {ab + bc + ac}\\ \Leftrightarrow a^3+ b^3+ c^3+ 3(a^2 b + ab^2+ a^2 c + ac^2+ b^2 c + bc^2 ) + 6abc \ge 9ab + 9bc + 9ac \\a^3+ b^3+ c^3+ 3a^2 b + 3ab^2+ 3a^2 c + 3ac^2+ 3b^2 c + 3bc^2+ 6 - 9ab + 9bc + 9ac \ge 0 \\\end{array}$

28-05-2008, 04:08 PM

احسنت mathson
ساعطيك برهان الاخيرة
نعلم ان

$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)$

$(a+b+c)^3\geq 3(a+b+c)(ab+bc+ca)$

$\frac{(a+b+c)^3}{2(ab+bc+ca)}\geq\frac{ 3}{2}(a+b+c)$

وبما ان $abc=1$ فان $a+b+c\geq 3$
و منه

$\frac{(a+b+c)^3}{2(ab+bc+ca)}\geq\frac{9}{2}$

ادن

$\sqrt{\frac{(a+b+c)^3}{2(ab+bc+ca)}}\geq\frac{3}{\sqrt2}$

28-05-2008, 04:27 PM

السلام عليكم و رحمة الله.
جميلة هي هده المتفاوتة أخي ياسين، و ننتظر المزيد من إبداعاتك.
و حلك اخ Mathson رائع.

28-05-2008, 05:31 PM

يا سلام عليك أستاذ ياسين
حلك خرافي ... ما أعتقد أنه سيخطر على بالي

21-05-2009, 11:13 PM

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته ..
هذه محاولتي لإثبات الجزئية الأخيرة ..
وصلنا إلى :

وذلك بتطبيق AM-GM على كل من a+b+c و ab+ac+bc بالإضافة إلى استخدام المعطى abc=1
هذه محاولتي و تحتمل الصواب و الخطأ
شكرا لكم و السلام عليكم و رحمة الله و بركاته ..


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة